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非正式有限极限[编辑 | 编辑源代码]
现在，我们将尝试更仔细地重述上一章的想法。我们当时说，方程式 lim x → 2 f ( x ) = 4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=4} 意味着，当 x {\displaystyle x} 越来越接近 2 时， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 越来越接近 4。这究竟意味着什么？"接近"到底有多接近？我们可以用来处理这个问题的第一种方法是，当 x = 1.99 , f ( x ) = 3.9601 {\displaystyle x=1.99\ ,\ f(x)=3.9601} 时，它非常接近 4。
然而，有时函数可能做一些完全不同的事情。例如，假设 f ( x ) = x 4 − 2 x 2 − 3.77 {\displaystyle f(x)=x^{4}-2x^{2}-3.77} ，所以 f ( 1.99 ) = 3.99219201 {\displaystyle f(1.99)=3.99219201} 。接下来，如果你取一个更接近 2 的值， f ( 1.999 ) = 4.20602 {\displaystyle f(1.999)=4.20602} ，在这种情况下，你实际上距离 4 更远了。原因是，当 x {\displaystyle x} 趋近于 2 时，代入得到 4.23。
解决方法是找出函数在任意接近该点时的行为。特别是，我们要说，无论我们希望函数有多接近 4，只要我们使 x {\displaystyle x} 足够接近 2，那么它就会到达那里。在这种情况下，我们将写
lim x → 2 f ( x ) = 4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=4}
并说"当 x {\displaystyle x} 趋近于 2 时， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的极限等于 4" 或 "当 x {\displaystyle x} 趋近于 2 时， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 趋近于 4。" 一般来说
定义：（极限的新定义）
我们称 L {\displaystyle L} 为当 x {\displaystyle x} 趋近于 c {\displaystyle c} 时 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的极限，如果当 x {\displaystyle x} 足够接近（且不等于） c {\displaystyle c} 时， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 任意接近 L {\displaystyle L} 。
当满足上述条件时，我们记为
lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
或者
f ( x ) → L as x → c {\displaystyle f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to c}
单边极限[编辑 | 编辑源代码]
有时，需要考虑当我们从某个特定方向逼近某个 x {\displaystyle x} 值时会发生什么。为了解决这个问题，我们引入单边极限。在左极限中， x {\displaystyle x} 从左侧逼近 a {\displaystyle a} 。类似地，在右极限中， x {\displaystyle x} 从右侧逼近 a {\displaystyle a} 。
例如，如果我们考虑 lim x → 2 x − 2 {\displaystyle \lim _{x\to 2}{\sqrt {x-2}}} ，就会出现问题，因为 x {\displaystyle x} 无法从左侧逼近 2（函数在此处未定义）。但是，如果 x {\displaystyle x} 仅从右侧逼近 2，我们想说 x − 2 {\displaystyle {\sqrt {x-2}}} 逼近 0。
定义：（单边极限的非正式定义）
如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x {\displaystyle x} 充分接近且大于 c {\displaystyle c} 时， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 变得任意接近 L {\displaystyle L} ，我们称 L {\displaystyle L} 为 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 当 x {\displaystyle x} 从右侧逼近 c {\displaystyle c} 时的极限。
当满足上述条件时，我们记为
lim x → c + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=L}
类似地，如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x {\displaystyle x} 充分接近且小于 c {\displaystyle c} 时， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 变得任意接近 L {\displaystyle L} ，我们称 L {\displaystyle L} 为 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 当 x {\displaystyle x} 从左侧逼近 c {\displaystyle c} 时的极限。
当满足上述条件时，我们记为
lim x → c − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=L}
在我们的例子中，左侧极限 lim x → 2 − x − 2 {\displaystyle \lim _{x\to 2^{-}}{\sqrt {x-2}}} 不存在。
然而，右手极限， lim x → 2 + x − 2 = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 2^{+}}{\sqrt {x-2}}=0} 。
事实上， lim x → c f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)} 存在当且仅当 lim x → c + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)} 和 lim x → c − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)} 存在并且彼此相等。在这种情况下， lim x → c f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)} 将等于相同的数字。
在我们的例子中，一个极限甚至不存在。因此， lim x → 2 x − 2 {\displaystyle \lim _{x\to 2}{\sqrt {x-2}}} 也不存在。
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